（理科做）阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x

Question

（理科做）
阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
阅读题目：对于任意实数a₁，a₂，b₁，b₂，证明不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
证明：构造函数f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等号成立当且仅当a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式(a2)/(x)+(b2)/(y)≥((a+b)2)/(x+y)成立．
（2）用（1）中的不等式求函数y＝(2)/(x)+(9)/(1−2x)(0＜x＜(1)/(2))的最小值，并指出此时x的值．
（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．

Answer 1

证明：（1）因为都是a，b，x，y正实数，由已知不等式得(x+y)((a2)/(x)+(b2)/(y))＝[(√(x))2+(√(y))2][((a)/(√(x)))2+((b)/(√(y)))2]≥(√(x)•(a)/(√(x))+√(y)•(b)/(√(作业帮用户2016-12-08举报问题解析（1）不等式两边同乘x+y，然后利用已知条件，证明不等式，再转化为所求证的不等式即可．（2）直接利用（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22），求出函数的最小值即可．（3）可将不等式推广到n元的情形，对于任意实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，不等式（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）成立．证明如下：设f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）．注意到f（x）≥0，所以△≤0，推出要证明的结论．名师点评本题考点：不等式的证明．考点点评：本题是中档题，考查不等式的证明与应用，不等式求函数的最值，考查选上的阅读能力，知识的应用能力，逻辑推理能力．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))