倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相衔接，固定在水平面上，轨道平面在竖直平面内如图所示，一小球自轨道上的A点无初速释放，小球运动过程中的一切阻力不计．（1）A点处高度至少为多少时

Question

倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相衔接，固定在水平面上，轨道平面在竖直平面内如图所示，一小球自轨道上的A点无初速释放，小球运动过程中的一切阻力不计．
（1）A点处高度至少为多少时，才能使小球在轨道上做完整的圆周运动；
（2）已知C点距水平面的高度h=2R，若小球从C点释放那么小球在何处脱离轨道；
（3）小球从C点释放那么小球运动过程中所能达到的最大高度是多少？

Answer 1

（1）小球恰好做圆周运动，在最高点，
由牛顿第二定律得：mg=m(v2)/(R)，
小球从A点到最高点过程中，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（h-2R）=(1)/(2)mv²，
解得：h=2.5R；
（2）设小球到达P点脱离轨道，过P点的半径与竖直方向夹角为θ，如图所示，
在P点，由牛顿第二定律得：mgcosθ=m(v2P)/(R)，
从C到P点过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgR（1-cosθ）=(1)/(2)mv_P²，
解得：v_P=√(gRcosθ)，cosθ=(2)/(3)，
则θ=arccos(2)/(3)；
（3）小球离开轨道后最斜上抛运动，离开轨道时水平分速度：
v₁=v_Pcosθ=√(gRcosθ)cosθ，
到小球到达最高点时，竖直分速度为零，
由机械能守恒定律得：mgh=mgh′+(1)/(2)mv₁²，
解得：h′=(50)/(27)R；
答：（1）A点处高度至少为2.5R时，才能使小球在轨道上做完整的圆周运动；
（2）已知C点距水平面的高度h=2R，小球从C点释放，小球在半径与竖直方向夹角为arccos(2)/(3)处脱离轨道；
（3）小球从C点释放那么小球运动过程中所能达到的最大高度是(50)/(27)R．