两个天体（包括人造天体）间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势能．如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距离为r时，引力势能为EP=-Gm1m2r．发射

Question

两个天体（包括人造天体）间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势能．如果两个天体的质量分别为m₁和m₂，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距离为r时，引力势能为E_P=-G(m1m2)/(r)．发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图中Ⅰ，再经过两次“点火”，即先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ（即同步轨道）运动．设某同步卫星的质量为m，地球半径为R，轨道Ⅰ距地面非常近，轨道Ⅲ距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为g，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略．求：
（1）从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是多大？
（2）两次“点火”过程中燃气对卫星所做的总功是多少？

Answer 1

（1）卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ做圆运动，根据万有引力提供向心力得：
(GMm)/(R2)=m(v21)/(R)
所以有：E_k1=(1)/(2)mV₁²=(1)/(2)mgR
(GMm)/((7R)2)=m(v32)/(7R)
所以有：E_k2=(1)/(2)mV₂²=(mgR)/(14)
运用动能定理得合力的功为：
W=E_k2-E_k1=mgR（(1)/(14)-(1)/(2)）=-(3mgR)/(7)                     
（2）卫星在轨道Ⅰ上的势能为：E_P1=-(GMm)/(R)=-mgR                            
卫星在轨道Ⅲ上的势能为：E_P2=-(GMm)/(7R)=-(mgR)/(7)                             
燃气所做的总功为：
W′=（ E_P2+E_k2）-（E_P1+E_k1）=（-(mgR)/(7)+(mgR)/(14)）-（-mgR+(1)/(2)mgR）=(3mgR)/(7)       
答：（1）从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是-(3mgR)/(7)    
（2）两次“点火”过程中燃气对卫星所做的总功是(3mgR)/(7)．