请教类似1/(1+x)(1-x)=1/2(1-x)+1/2(1+x)公式类似上面的问题,是否有一个公式,把除数化为和差?高中的东西都忘光了,不知道是不是有过?做积分的时候遇到这么一道题1/（2+cosx）（1+cosx）（1-cosx）=1/3

Question

请教类似1/(1+x)(1-x)=1/2(1-x)+1/2(1+x)公式
类似上面的问题,是否有一个公式,把除数化为和差?
高中的东西都忘光了,不知道是不是有过?
做积分的时候遇到这么一道题
1/（2+cosx）（1+cosx）（1-cosx）=1/3（2+cosx）-1/2（1+cosx）-1/6（1-cosx）
看解题思路中理所当然的模样,我怀疑应该有这么一个公式.

Answer 1

没有公式,但是有方法
将真分式P(x)/Q(x)分解为最简分式之和首先应写出最简分式的形式工,然后再应用比较系数法或赋值法把其中的各个待定系数确定出来.确定系数的方法,下面通过例题来介绍.
例1,(x+1)/(x²-4x+3)
(x+1)/(x²-4x+3)=(x+1)/(x-1)(x-3)=[A/(x-1)]+[B/(x-3)]
两边同时乘以分母(x²-4x+3),得
x+1=A(x-3)+B(x-1)
上式为恒等式,对任意x成立,因此,可令x=1,x=3,分别代入上式,得
2=A(1-3)+0
4=0+B(3-1)
解得,A=-1,B=2
所以(x+1)/(x²-4x+3)=[-1/(x-1)]+[2/(x-3)]
例2,1/x(x-1)²
1/x(x-1)²=[A/x]+[B/(x-1)²]+[C/(x-1)]
两边同时乘以分母x(x-1)²,得
1=A(x-1)²+Bx+Cx(x-1)
合并整理得,1=(A+C)x²+(-2A+B-C)x+A
上式为恒等式,两边x的同次幂的系数应该相等,经比较可得
0=A+C
0=-2A+B-C
1=A
解得,A=-1,B=1,C=-1
所以1/x(x-1)²=(1/x)+(1/(x-1)²)-(1/(x-1))
例3,1/(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)
1/(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)
=[A/(2+cosx)]+[B/(1+cosx)]+[C/(1-cosx)]
两边乘以分母(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)得
1=A(1-cos²x)+B(2-cosx-cos²x)+C(2+3cosx+cos²x)
化简整理得
1=(-A-B+C)cos²x+(-B+3C)cosx+(A+2B+2C)
比较两边系数得
-A-B+C=0
-B+3C=0
A+2B+2C=1
解得：A=-1/3,B=1/2,C=1/6
所以1/(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)
=[-1/3(2+cosx)]+[1/2(1+cosx)]+[1/6(1-cosx)]
你提供的分解差一个负号!
分解真分式的方法主要是在对有理函数求积分的时候用到.