设物体最开始温度为100℃,环境温度为20℃,已知物体冷却的速度与物体和环境的温度差成正比,20min后测得物体温度为60℃,问再经过多少时间,物体温度下降到30℃.要求用微分方程

Question

设物体最开始温度为100℃,环境温度为20℃,已知物体冷却的速度与物体和环境的温度差成正比,20min后测得物体温度为60℃,问再经过多少时间,物体温度下降到30℃.
要求用微分方程

Answer 1

f'(t)=k(f(t)-20)且f(0)=100,f(20)=60
f'(t)-kf(t)=-20k
e^(-kt)(f'(t)-kf(t))=-20ke^(-kt)
(f(t)e^(-kt))'=-20ke^(-kt)
两边积分：f(t)e^(-kt)=20e^(-kt)+C
f(t)=20+Ce^(kt)
令t=0和20得：
100=20+C
60=20+Ce^(20k)
解得C=80,k=-ln2/20
所以f(t)=20+80*2^(-t/20)
令f(t)=30得：t=60
所以还要经过60-20=40min