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设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比�设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与

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设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比�
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体的重心位置.
▼优质解答
答案和解析
【解法1】用Ω表示球体,以Ω的球心为原点O,射线OP0 为x轴的正方向建立直角坐标系.如下图所示.

则点P0的坐标为(R,0,0),球面方程为 x2+y2+z2=R2
设Ω 的重心位置为(
.
x
.
y
.
z
).
由对称性可得,
.
y
=0,
.
z
=0.
由质心坐标的计算公式可得,
.
x
=
?
Ω
x?ρ(x,y,z)dxdydz
?
Ω
ρ(x,y,z)dxdydz

=
?
Ω
x?k((x?R)2+y2+z2)dxdydz
?
Ω
k((x?R)2+y2+z2)

=
?
Ω
x((x?R)2+y2+z2)
?
Ω
((x?R)2+y2+z2)

因为
?
Ω
((x?R)2+y2+z2)dxdydz=
?
Ω
(x2+y2+z2)dxdydz-2R
?
Ω
xdxdydz+
?
Ω
R2dxdydz,
=
0
π
0
R
0
r2r2sinφdr-0+
4
3
πR5
=
4
5
πR5+
4
3
πR5
=
32
15
πR5,
?
Ω
x((x?R)2+y2+z2)dxdydz=
?
Ω
x(x2+y2+z2+R2)dxdydz-2πR
?
Ω
x2dxdydz
=0-
2πR
3
?
Ω
x2dxdydz
=?
8
15
πR6,
所以
.
x
=?
R
4

故质心坐标为 (?
R
4
,0,0).
【解法2】用Ω表示球体,Ω的球心为O,以固定点P0 作为坐标原点,以射线P0O为z轴的正方向建立直角坐标系.
设Ω 的重心位置为(
.
x
.
y
.
z
).
由对称性,
.
x
=0,
.
y
=0.
由质心坐标的计算公式可得,
.
z
=
?
Ω
kz(x2+y2+z2)dxdydz
?
Ω
k(x2+y2+z2)dxdydz

因为
?
Ω
(x2+y2+z2)dxdydz=
0
π
2
0
2Rcosθ
0
r2?r2sinφdr
=
32
15
πR5,
?
Ω
z(x2+y2+z2)dxdydz=
0
π
2
0
2Rcosθ
0
rsinφ?r2?r2sinφdr
=
8
3
πR6,
所以
.
z
=
作业帮用户 2017-09-24
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