滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作，给人以美的享受．如图是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R的凹形圆

Question

滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作，给人以美的享受．如图是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R的凹形圆弧轨道和半径R的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O点与M点处在同一水平面上，一质量为m可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P点无初速滑下，经过M点滑向N点，滑板又从N点水平抛出落到一倾角为θ的斜面上的Q点时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示．已知滑板过M点及N点的速度分别为v₁和v₂（v2＜√(gR)），不计一切阻力，重力加速度为g．
（1）设滑板滑到M点及N点时受到轨道的支持力大小分别为F1和F2，求(F1)/(F2)＝？
（2）滑板落到斜面上的Q点时的速度多大？
（3）滑板从N落到斜面上的Q点时所需要的时间为多少？

Answer 1

（1）对M点，根据向心力公式得：
F1−mg＝m(v21)/(R)
对N点，根据向心力公式得：
mg−F2＝m(v22)/(R)
解以上两式得：(F1)/(F2)＝(v21+gR)/(v22−gR)
（2）滑板从N点水平抛出垂直斜面到达Q点，根据几何关系得：v＝(v2)/(sinθ)；
（3）抛出后做平抛运动，根据几何关系得：vy＝(v2)/(tanθ)，又vy＝gt，
解得：t＝(v2)/(gtanθ)．
答：（1）滑板滑到M点及N点时受到轨道的支持力大小之比(F1)/(F2)＝(v21+gR)/(v22−gR)；
（2）滑板落到斜面上的Q点时的速度为(v2)/(sinθ)；
（3）滑板从N落到斜面上的Q点时所需要的时间为(v2)/(gtanθ)．