（2014•通州区二模）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且

Question

（2014•通州区二模）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为(1)/(2)，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．
（Ⅰ）分别求这名射手在150m处、200m处的命中率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px＝(k)/(x2)，∵p100＝(1)/(2)，∴k=5000，（2分）
∴p150＝(5000)/(1502)＝(2)/(9)，p200＝(5000)/(2002)＝(1)/(8)
即这名射手在150m处、200m处的命中率分别为(2)/(9)，(1)/(8)．（5分）
（2）由题意ξ∈6，3，1，0，（6分）
记100m，150m，200m处命中目标分别为事件A，B，C
由（1）知P(ξ＝6)＝P(A)＝(1)/(2)，P(ξ＝3)＝P(

.

A

•B)＝P(

.

A

)•P(B)＝(1)/(2)×(2)/(9)＝(1)/(9)，（7分）P(ξ＝1)＝P(

.

A

•

.

B

•C)＝(1)/(2)×(7)/(9)×(1)/(8)＝(7)/(144)，（8分）
P(ξ＝0)＝1−P(ξ＝6)−P(ξ＝3)−P(ξ＝1)＝(49)/(144)，（9分）
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	6	3	1	0
P	(1)/(2)	(1)/(9)	(7)/(144)	(49)/(144)

（10分）Eξ＝6×(1)/(2)+3×(1)/(9)+1×(7)/(144)+0×(49)/(144)＝(487)/(144)（12分）．