假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：（1）X的概率分布；（2）数学期望E

Question

假定某射手射击一次命中目标的概率为(2)/(3)．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：
（1）X的概率分布；
（2）数学期望E（X）．

Answer 1

（1）由已知得耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4．
当X=1时，表示射击一次，命中目标，则P（X=1）=(2)/(3)；
当X=2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P（X=2）=（1-(2)/(3)）×(2)/(3)=(2)/(9)；…（2分）
当X=3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，
则P（X=3）=（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）×(2)/(3)=(2)/(27)；…（4分）
当X=4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，
则P（X=4）=（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）×(2)/(3)+（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）×（1-(2)/(3)）=(1)/(27)．

X	1	2	3	4
P	(2)/(3)	(2)/(9)	(2)/(27)	(1)/(27)

X的概率分布为
…（6分）
（2）E（X）=1×(2)/(3)+2×(2)/(9)+3×(2)/(27)+4×(1)/(27)=(40)/(27)．    …（10分）