正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边上的点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；（Ⅱ）求二面角E-DF-C的正切值；

Question

正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边上的点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的正切值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论
不好意思啊！EF分别是中点啊！

Answer 1

（Ⅰ）EF是中点,所以,AB平行于EF
所以,翻折后直线AB与平面DEF平行；
（Ⅱ）取CD中点G,连结EG,过G作GH⊥FD于H；连结EH；
EG平行于AD,所以,EG⊥面CFD；
则∠EHG即为所求二面角E-DF-C,
tan∠EHG=EG/GH；
AD=2,则EG=1,
在Rt△CDB中,DF为斜边CB上的中线,所以FD=FC,
∠EDF=30°,CD=2√3,则GD=√3,则GH=(√3)/2；
所以,tan∠EHG=EG/GH=(2√3)/3
即二面角E-DF-C的正切值为(2√3)/3；
（Ⅲ）存在,过A作AQ⊥DE交CD与Q,过Q作QP平行DB交BC于P；连AP,则AP⊥DE；
证：PQ平行DB,则PQ⊥面ADC,
则PQ⊥DE
又DE⊥AQ
所以,DE⊥面APQ
所以,DE⊥AP