有5个猴子商量在第二天分一堆香蕉,在第一天的晚上,第一只猴子偷偷起床,发现将香蕉分为5份还多了一个,于是便扔掉了一个,然后将5份中自己的一份拿了回去.第二只猴子也偷偷起来,将香蕉分

Question

有5个猴子商量在第二天分一堆香蕉,在第一天的晚上,第一只猴子偷偷起床,发现将香蕉分为5份还多了一个,于是便扔掉了一个,然后将5份中自己的一份拿了回去.第二只猴子也偷偷起来,将香蕉分为5份也多了一个,于是便扔掉了,将5份中的自己那一份拿走了.直到第5个猴子起来,分为5份,也多了一个,扔掉后将自己的那一份拿走.
第二天,5只猴子来分香蕉,刚好分成5份.
求：至少有多少个香蕉?

Answer 1

应该至少需要3121个香蕉,思路：采用倒推法.
设第二天每一只猴子分a个香蕉
第五只猴子未拿之前有：5a*(5/4)+1
第四只猴子未拿之前有：5a*(5/4)²+5/4+1
第三只猴子未拿之前有：5a*(5/4)³+(5/4)²+5/4+1
第二只猴子未拿之前有：5a*(5/4)^4+(5/4)³+(5/4)²+5/4+1
第一只猴子未拿之前有：5a*(5/4)^5+(5/4)^4+(5/4)³+(5/4)²+5/4+1 ··········①
①式后面5项为等比数列,求和有：5a*(5/4)^5+4*(5/4)^5-4=(5a+4)*(5/4)^5-4=min
接下来求最小值min,令5a+4=4^5,解得a=204,带入即得min=3121.