早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

如图1,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC.(2)若AB=5,AD=33,AE=3,求AF的长.(3)在(2)的条件下,建立如图2

题目详情
如图1,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC.
(2)若AB=5,AD=3
3
,AE=3,求AF的长.
(3)在(2)的条件下,建立如图2所示的直角坐标系,在x轴上是否存在一点P,(P点不与B、C重合),使得由点P、A、E组成的三角形与△ABE相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180°,
∵∠AFE=∠B,
∴∠AFE+∠C=180°,且∠AFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC;
(2)∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠EAD=90°,AE=3,AD=3
3

在Rt△ADE中,可求得DE=6,
又∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD=AB=5,
由(1)可知△ADF∽△DEC,
AF
CD
=
AD
DE
,即
AF
5
=
3
3
6

解得AF=
5
3
2

(3)假设存在满足条件P点,设其坐标为(x,0),则PE=|x|,
由(2)可知AB=5,AE=3,在Rt△ABE中可求得BE=4,
∵∠AEB=90°,
∴∠AEP=∠AEB=90°,
∴△ABE和△APE相似只能有两种情况,即△PAE∽△BAE或△PAE∽△ABE,
当△PAE∽△BAE时,则有
PE
BE
=
AE
AE
=1,即PE=BE,
∴|x|=4,解得x=4或x=-4(与B重合,舍去),此时P点坐标为(4,0);
当△PAE∽△ABE时,则有
PE
AE
=
AE
BE
,即
|x|
3
=
3
4
,可得|x|=
9
4
,解得x=
9
4
或x=-
9
4
,与B、C两点都不重合,
此时P点坐标为(
9
4
,0)或(-
9
4
,0);
综上可知存在使由点P、A、E组成的三角形与△ABE相似的点P,其坐标为(4,0)或(
9
4
,0)或(-
9
4
,0).