已知公差为d的等差数列{an}和公比q＜0的等比数列{bn}，a1=b1=1，a2+b2=1，a3+b3=4．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令Cn=2an+anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

已知公差为d的等差数列{a_n}和公比q＜0的等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₂+b₂=1，a₃+b₃=4．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=2 an+a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）由题意得

1+d+q＝1

1+2d+q2＝4

，解得d=1，q=-1，
∴a_n=n，b_n=（-1）^n-1；
（2）C_n=2 an+a_nb_n=2ⁿ+n（-1）^n-1，
∴s_n=c₁+c₂+…+c_n=（2+2²+…+2ⁿ）+[1•（-1）⁰+2•（-1）¹+…+n•（-1）^n-1]
令T_n=1•（-1）⁰+2•（-1）¹+…+n•（-1）^n-1，①
-T_n=1•（-1）¹+2•（-1）²+…+（n-1）•（-1）^n-1+n•（-1）ⁿ②，
①-②得，2T_n=（-1）⁰+（-1）¹+…+（-1）^n-1-n•（-1）ⁿ=(1−(−1)n)/(2)-n•（-1）ⁿ=(1)/(2)-((2n+1)(−1)n)/(2)，
∴T_n=(1)/(4)-((2n+1)(−1)n)/(4)，
∴s_n=(2(1−2n))/(1−2)+(1)/(4)-((2n+1)(−1)n)/(4)=2ⁿ⁺¹-((2n+1)(−1)n)/(4)-(7)/(4)．