设数列的前n项和为Sn，且，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列是等比数列；(2)当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．

Question

设数列的前n项和为Sn，且，其中p是不为零的常数．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．____

Answer 1

【分析】(1)通过S_n=4a_n-p，利用a_n=S_n-S_n-1，求出，利用等比数列的定义证明数列{a_n}是等比数列；
\n(2)当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n(n∈N^*)，b₁=2，推出，利用b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)++(b_n-b_n-1)，求数列{b_n}的通项公式．

证明：(1)证：因为S_n=4a_n-p(n∈N^*)，则S_n-1=4a_n-1-p(n∈N^*，n≥2)，
\n所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，整理得．(5分)
\n由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-a，解得．
\n所以a_n是首项为，公比为的等比数列．(7分)
\n(2)因为a₁=1，则，
\n由b_n+1=a_n+b_n(n=1，2，…)，得，(9分)
\n当n≥2时，由累加得b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n-b_n-1)=，
\n当n=1时，上式也成立．(14分)

【点评】本题是中档题，考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，注意利用a_n=S_n-S_n-1时，必须验证n=1的情形，否则容易出错误．