在平面直角坐标系内，直线l的关系式为y=x+b，点A、B的坐标分别是（1，0），（7、0），试就b的取值范围讨论在直线l上是否存在M点，使∠AMB=90°．

Question

在平面直角坐标系内，直线l的关系式为y=x+b，点A、B的坐标分别是（1，0），（7、0），试就b的取值范围讨论在直线l上是否存在M点，使∠AMB=90°．

Answer 1

如图：
A（1，0），B（7，0），C（4，0），以C为圆心，3为半径作圆，
设直线与圆的一个交点为（x，y），
则

y＝x+b

(x−4)2+y2＝9

∴2x²-（8-2b）x+b²+7=0，
△=-b²-8b+2，
当直线y=x+b与圆相切时，△=0，
∴-b²-8b+2=0，
解得b=-4±3√(2)
①当b＞-4+3√(2)时，不存在M．
②当-4-3√(2)≤b≤-4+3√(2)时，存在点M，使∠AMB=90°
③当b＜-4-3√(2)时，不存在M．