如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上．求矩形EHGF的最大面积．

Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上．求矩形EHGF的最大面积．

Answer 1

矩形EFGH的面积最大时，E和F应分别在AB和AC上，作BP⊥AB，CP⊥AC，BP与CP将于点P，四边形ABPC是正方形，延长EH交BP于W，延长FG交CP于Q，边长QW，AP分别交EF与U、V．

容易证明，四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形，并且在正方形ABPC内，设AE=x，则EB=1-x，
AE=AF=PW=PQ=x
EB=BW=FC=QC=1-x
于是
EW=UV，EU=AU，WV=VP
因此
EF+EW+WQ+QF=AP+BC=常数
即矩形EFQW的周长一定，在所在周长相同的矩形中，面积最大者为周长的正方形，此时AE：EB=1，因此矩形EFGH的面积最大为
S_□EFGH=(1)/(2)S_△ABC=(1)/(4)．
答：矩形EFGH的面积最大为(1)/(4)．