如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．

Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为___．

Answer 1

将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，
∴CF=BM，AF=AM，∠B=∠ACF．∠2=∠3，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠1+∠3=∠1+∠2=90°-45°=45°=∠NAF，
在△MAN和△FAN中

AN=AN

∠MAN=∠FAN

AM=AF

∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF，
∵∠ACF=∠B=45°，∠ACB=45°，
∴∠FCN=90°，
∵CF=BM=1，CN=3，
∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN=NF=√(12+32)=√(10)，
故答案为：√(10)．