如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐

Question

如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与 对角线AC交于Q点
（Ⅰ）若点P的坐标为（1，(1)/(4)），求点M的坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，如图1，

由题意可知M为OP中点，
∴E为OA中点，
∴OE=(1)/(2)OA=(1)/(2)，ME=(1)/(2)AP=(1)/(8)，
∴M点坐标为（(1)/(2)，(1)/(8)）；
（Ⅱ）①同（Ⅰ），当P（1，t）时，可得M（(1)/(2)，t）；
②过Q点作QD⊥OA于D，作QE⊥AB与E，连接QP．
∵Q点在AC上，
∴QD=AD=AE=QE，
在Rt△OQD和Rt△OPE中，

QO=QP

QD=QE

∴Rt△OQD≌Rt△OPE，
∴OD=PE，
设OD=PE=x，则AD=1-x，AE=t+x，则1-x=t+x，解得x=(1-t)/(2)，
QD=AE=t+x=(1+t)/(2)．
∴Q点坐标为（(1-t)/(2)，(1+t)/(2)）．
（Ⅲ）不变化，∠QOP=45°．
理由如下：由（Ⅱ）②可知Q点坐标为（(1-t)/(2)，(1+t)/(2)），
根据勾股定理得，
OQ²=OD²+QD²=（(1-t)/(2)）²+（(1+t)/(2)）²=(1+t2)/(2)，
QP=OQ，
OP²=OA²+AP²=1+t²，
∴OQ²+QP²=OP²，
∴△OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形，
∴∠QOP=45°，
即∠QOP不变化．