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已知:如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.(1)求直线A
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已知:如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).
则
解
∴直线AB的解析式为y=x-4.
(2)作MN⊥y轴于点N.
∵△APM为等腰直角三角形,PM=PA,
∴∠APM=90°.
∴∠OPA+∠NPM=90°.
∵∠NMP+∠NPM=90°,
∴∠OPA=∠NMP.
又∵∠AOP=∠PNM=90°,
∴△AOP≌△PNM.(AAS)
∴OP=NM,OA=NP.
∵PB=m(m>0),
∴NM=m+4,ON=OP+NP=m+8.
∵点M在第四象限,
∴点M的坐标为(m+4,-m-8).
(3)答:点Q的坐标不变.
设直线MB的解析式为y=nx-4(n≠0).
∵点M(m+4,-m-8).
在直线MB上,
∴-m-8=n(m+4)-4.
整理,得(m+4)n=-m-4.
∵m>0,
∴m+4≠0.
解得 n=-1.
∴直线MB的解析式为y=-x-4.
∴无论m的值如何变化,点Q的坐标都为(-4,0).
则
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∴直线AB的解析式为y=x-4.
(2)作MN⊥y轴于点N.
∵△APM为等腰直角三角形,PM=PA,
∴∠APM=90°.
∴∠OPA+∠NPM=90°.
∵∠NMP+∠NPM=90°,
∴∠OPA=∠NMP.
又∵∠AOP=∠PNM=90°,
∴△AOP≌△PNM.(AAS)
∴OP=NM,OA=NP.
∵PB=m(m>0),
∴NM=m+4,ON=OP+NP=m+8.
∵点M在第四象限,
∴点M的坐标为(m+4,-m-8).
(3)答:点Q的坐标不变.
设直线MB的解析式为y=nx-4(n≠0).
∵点M(m+4,-m-8).
在直线MB上,
∴-m-8=n(m+4)-4.
整理,得(m+4)n=-m-4.
∵m>0,
∴m+4≠0.
解得 n=-1.
∴直线MB的解析式为y=-x-4.
∴无论m的值如何变化,点Q的坐标都为(-4,0).
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