一道高等代数题设f1(x),f2(x)是整系数多项式,证明：如果（x^2+x+1)|[f1(x^3)+xf2(x)],那么（x-1）|f1（x）,（x-1）|f2（x）,（x^2+x+1)|[f1(x^3)+xf2(x^3)]

Question

一道高等代数题
设f1(x),f2(x)是整系数多项式,证明：如果（x^2+x+1)|[f1(x^3)+xf2(x)],那么 （x-1）|f1（x）,（x-1）|f2（x）,
（x^2+x+1)|[f1(x^3)+xf2(x^3)]

Answer 1

题目有问题,反例：
f1(x)=1
f2(x)=x+1.
改对了我再帮你做.
这下对了.
记g(x)=x^2+x+1.
考察x^3-1=(x-1)g(x0,于是x^3≡1(mod g(x)),因此对任何整系数多项式f(x)有f(x^3)≡f(1)(mod g(x)).
现g(x)|[f1(1)+f2(1)x],由于f1(1)+f2(1)x的次数比g(x)的低,只能为0.
再由余数定理,f(1)=0 (x-1)|f(x).