为什么我的数学就学不会呢尤其是一元二次方程,我不会结合实际去列.有什么方法吗!

Question

为什么我的数学就学不会呢
尤其是一元二次方程,我不会结合实际去列.有什么方法吗!

Answer 1

一、知识要点： 

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础,应引起同学们的重视. 

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程. 

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 

二、方法、例题精讲： 

1、直接开平方法： 

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m± . 

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以 此方程也可用直接开平方法解. 

（1）(3x+1)2=7× 

∴(3x+1)2=5 

∴3x+1=±(注意不要丢解) 

∴x= 

∴原方程的解为x1=,x2= 

（2） 9x2-24x+16=11 

∴(3x-4)2=11 

∴3x-4=± 

∴x= 

∴原方程的解为x1=,x2= 

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 

将二次项系数化为1：x2+x=- 

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 

当b2-4ac≥0时,x+ =± 

∴x=(这就是求根公式) 

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 

将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 

将二次项系数化为1：x2-x= 

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 

配方：(x-)2= 

直接开平方得：x-=± 

∴x= 

∴原方程的解为x1=,x2= . 

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根. 

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 

将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 

∴a=2, b=-8, c=5 

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 

∴x= = = 

∴原方程的解为x1=,x2= . 

4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 

例4．用因式分解法解下列方程： 

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） 

(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) 

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 

∴x1=5,x2=-2是原方程的解. 

(2)2x2+3x=0 

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 

∴x1=0,x2=-是原方程的解. 

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. 

(3)6x2+5x-50=0 

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 

∴2x-5=0或3x+10=0 

∴x1=, x2=- 是原方程的解. 

(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） 

(x-2)(x-2 )=0 

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 

小结： 

一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 形式,同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法. 公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式 法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 是否有解. 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）. 

例5．用适当的方法解下列方程.(选学） 

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 

分析：

（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差 公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. 

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. 

（3）化成一般形式后利用公式法解. 

（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解. 

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 

(5x-5)(-x+13)=0 

5x-5=0或-x+13=0 

∴x1=1,x2=13 

（2） x2+(2- )x+ -3=0 

[x-(-3)](x-1)=0 

x-(-3)=0或x-1=0 

∴x1=-3,x2=1 

（3）x2-2 x=- 

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) 

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 

∴x= 

∴x1=,x2= 

（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 

∴x1= ,x2= 

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学） 

分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 

[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 

即 (5x-5)(2x-3)=0 

∴5(x-1)(2x-3)=0 

(x-1)(2x-3)=0 

∴x-1=0或2x-3=0 

∴x1=1,x2=是原方程的解. 

例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 

x2+px+q=0可变形为 

x2+px=-q (常数项移到方程右边) 

x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) 

(x+)2= (配方) 

当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） 

∴x=- ±= 

∴x1= ,x2= 

当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根. 

说明：本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求,必要时进行分类讨论. 

练习： 

（一）用适当的方法解下列方程： 

6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 

（二）解下列关于x的方程 

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 

练习参考答案： 

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 

6.（把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式） 

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 

即 (2x+9)(2x+2)=0 

∴2x+9=0或2x+2=0 

∴x1=-,x2=-1是原方程的解. 

（二）1．x2-ax+( +b)( -b)=0 2、x2-(+ )ax+ a· a=0 

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 

∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解. 原方程的解. 

测试 

选择题 

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） 

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 

2．多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为（ ）. 

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个 根是（ ）. 

A、0 B、1 C、-1 D、±1 

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）. 

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 

C、b=0且c=0 D、c=0 

5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）. 

A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）. 

A、 B、 C、 D、无实根 

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）. 

A、x= B、x=- 

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 

8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）. 

A、(x-)2= B、(x- )2=- 

C、(x- )2= D、以上答案都不对 

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是（ ）. 

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 

答案与解析 

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 

解析： 

1．分析：移项得：(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个. 

2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 

3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1. 

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 

5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根. 

7．分析：2x2=0.15 

x2= 

x=± 

注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根. 

8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 

整理为：(x-)2= 

方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方. 

9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 

则(x-1)2=m+1. 

中考解析 

考题评析 

1．方程的根是（ ） 

（A） （B） （C） 或 （D） 或 

评析：因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确 选项.也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以.选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=－1,不能使方程左右相等,所以也是错误的.正确选项为 C. 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免. 

2．一元二次方程的根是__________. 

评析：思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可. 

3．方程的根为（ ） 

（A）0 （B）–1 （C）0,–1 （D）0,1 

评析：思路：因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、 B两选项只有一个根.D选项一个数不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法. 

4．已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________. 

评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解. 

5．用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） 

（A）x=3+2 （B）x=3-2 

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 

评析：用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方 根,即可选出答案.