不定积分换元积分法的三角替换法中x=asect中的t的定义域问题t的定义域是（0,π/2）或（π/2,π）还是只写（0,π/2）.在解题中,两种取法都出现有啊.困惑中?

Question

不定积分换元积分法的三角替换法中x=asect中的t的定义域问题
t的定义域是（0,π/2）或（π/2,π）还是只写（0,π/2）.在解题中,两种取法都出现有啊.困惑中?

Answer 1

在三角函数中,唯独是这个sec需要特别讨论.
x = a * sint,t∈[- π/2,π/2]
x = a * tant,t∈(- π/2,π/2)
x = a * sect,t∈[0,π/2)U(π/2,π]
对于x =a * sect,
当x > a时,t∈[0,π/2),|tant| = tant
当x < - a时,t∈(π/2,π],|tant| = - tant,或者可先设u = - x,那么u > a,后面情况如上