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六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.已知在平行四边形ABCD中(如图1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),则在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中(如图2),AC12+BD12+CA12+DB12等于()A.2(AB2+AD2+AA1
题目详情
六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.已知在平行四边形ABCD中(如图1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),则在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中(如图2),AC12+BD12+CA12+DB12等于( )
A.2(AB2+AD2+AA12)
B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12)
D.4(AB2+AD2)
A.2(AB2+AD2+AA12)
B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12)
D.4(AB2+AD2)
▼优质解答
答案和解析
如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;
在平行四边形ACA1C1中,A1C2+AC12=2(AC2+AA12)…②;
在平行四边形BDB1D1中,B1D2+BD12=2(BD2+BB12)…③;
②、③相加,得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2(AC2+AA12)+2(BD2+BB12)…④
将①代入④,再结合AA1=BB1得,AC12+B1D2+A1C2+BD12=4(AB2+AD2+AA12)
故选C.
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;
在平行四边形ACA1C1中,A1C2+AC12=2(AC2+AA12)…②;
在平行四边形BDB1D1中,B1D2+BD12=2(BD2+BB12)…③;
②、③相加,得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2(AC2+AA12)+2(BD2+BB12)…④
将①代入④,再结合AA1=BB1得,AC12+B1D2+A1C2+BD12=4(AB2+AD2+AA12)
故选C.
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