三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=3，AB=2，AC=2，A1C1=1，BDDC=12．

Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A ₁ B ₁ C ₁ ，∠BAC=90°，A ₁ A⊥平面ABC， A 1 A=

3

， AB=

2

，AC=2，A ₁ C ₁ =1， (BD)/(DC) =(1)/(2) ．
（Ⅰ）证明：平面A ₁ AD⊥平面BCC ₁ B ₁ ；
（Ⅱ）求二面角A-CC ₁ -B的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵A ₁ A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴A ₁ A⊥BC．在Rt△ABC中， AB=

2

，AC=2 ，∴ BC=

6

，
∵BD：DC=1：2，∴ BD=(6)/(3) ，又 (BD)/(AB) =(3)/(3) =(AB)/(BC) ，
∴△DBA ∽ △ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A ₁ A∩AD=A，∴BC⊥平面A ₁ AD，∵BC⊂平面BCC ₁ B ₁ ，∴平面A ₁ AD⊥平面BCC ₁ B ₁ ．

（Ⅱ）如图，作AE⊥C ₁ C交C ₁ C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC ₁ A ₁ ．∴AE是BE在面ACC ₁ A ₁ 内的射影．
由三垂线定理知BE⊥CC ₁ ，∴∠AEB为二面角A-CC ₁ -B的平面角．
过C ₁ 作C ₁ F⊥AC交AC于F点，
则CF=AC-AF=1， C 1 F= A 1 A=

3

，∴∠C ₁ CF=60°．
在Rt△AEC中， AE=ACsin60°=2×(3)/(2) =

3

．
在Rt△BAE中， tanAEB=(AB)/(AE) =(2)/(3) =(6)/(3) ．∴ ∠AEB=arctan(6)/(3) ，
即二面角A-CC ₁ -B为 arctan(6)/(3) ．