2011石家庄一模理数答案

Question

2011石家庄一模理数答案

Answer 1

　　2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试
　　理科数学答案
　　一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
　　（A卷答案）:1-5 ADCDA 6-10 BDDAB 11-12 CD
　　（B卷答案）:1-5 BDCDB 6-10 ADDBA 11-12 CD
　　二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分
　　13．1或2 14. 15. 16. 0
　　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.
　　17.（本小题满分10分）
　　（I）解法一：
　　∵ ，由正弦定理得：
　　，
　　即 .………………2分
　　在 中， ，
　　∴ ， ………………3分
　　∴ ，∴ .………………5分
　　解法二：
　　因为 ，由余弦定理 ，
　　化简得 ，……………2分
　　又余弦定理 ,……………3分
　　所以 ,又 ,有 .……………5分
　　（II）解法一：
　　∵ ，∴ ，……………6分
　　.
　　∴ ，………………8分
　　∴ ．………………9分
　　当且仅当 时取得等号．……………………10分
　　解法二：
　　由正弦定理知： ，
　　.………………6分
　　∴ ,
　　，………………8分
　　∵ ，∴ ，
　　∴ ，………………9分
　　∴ ，
　　即 的面积 的最大值是 .………………10分
　　18．(本小题满分12分)
　　方法一：
　　（Ⅰ）取 中点 ,连结 、 ,由 为正三角形，得 ，又 ，则 ，可知 ，所以 为 与平面 所成角．……………2分
　　，………………4分
　　因为 ，得 ，得 .……………6分
　　（Ⅱ）延长 交于点S，连 ，
　　可知平面 平面 = .………………………7分
　　由 ，且 ，又因为 =1，从而 ，…………………8分
　　又 面 ，由三垂线定理可知 ，即 为平面 与平面 所成的角；……………………10分
　　则 ，
　　从而平面 与面 所成的角的大小为 .………………12分
　　方法二：
　　
　　（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则
　　设 ， ， ， .……………2分
　　取AB的中点M，则 ，
　　易知,ABE的一个法向量为 ,
　　由题意 .………………4分
　　由 ，则 ，
　　得 .…………………6分
　　(Ⅱ)由（Ⅰ）知 最大值为 ，则当 时，设平面BDE法向量为 ，则
　　取 ，………………8分
　　又平面ABC法向量为 ，……………………10分
　　所以 = ，
　　所以平面BDE与平面ABC所成角大小 ……………………12分
　　19．(本小题满分12分)
　　(Ⅰ) 的定义域为 .…………………1分
　　= （ ），
　　设 ，只需讨论 在 上的符号.…………………2分
　　（1）若 ，即 ，由 过定点 ，知 在 上恒正，故 ， 在（0，+ ）上为增函数.…………………3分
　　（2）若 ，当 时，即 时，知 （当 时，取“=”），故 ， 在（0，+ ）上为增函数；……………………4分
　　当 时，由 得 ，
　　当 或 时， ，即 ，
　　当 时， ，即 ．
　　则 在 上为减函数，在 ，
　　上为增函数.………………5分
　　综上可得：当 时，函数 的单调增区间（0，+ ）;
　　当 时，函数 的单调增区间为 ， ；
　　函数 的单调减区间为 .…………………6分
　　（Ⅱ）由条件可得 ，
　　则当 时， 恒成立，………………8分
　　令 ，则 …………………9分
　　方法一：令 ，
　　则当 时， ，所以 在（0，+ ）上为减函数.
　　又 ，
　　所以在（0，1）上， ；在（1，+ ）上， ．………10分
　　所以 在（0,1）上为增函数；在（1，+ ）上为减函数.
　　所以 ，所以 ……………12分
　　方法二：当 时， ；
　　当 时， ．……………10分
　　所以 在（0,1）上为增函数；在（1，+ ）上为减函数.
　　所以 ，所以 ………………12分
　　20．(本小题满分12分)
　　（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥.……………1分
　　又 ，………………3分
　　.…………………5分
　　所以 .
　　所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为 .……………6分
　　（Ⅱ） 可能的取值是 .……………7分
　　表示A，B，C三题均答对，
　　则 ，……………8分
　　同理， ，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　所以， 的分布列为
　　100 80 70 50 30 0
　　P
　　……………10分
　　所以 的数学期望
　　.……………12分
　　21．(本小题满分12分)
　　（Ⅰ）方法一：设直线 与 的交点为 ，
　　∵ 是椭圆 的上、下顶点，
　　∴ …………………1分
　　， ，
　　两式相乘得 .………………………3分
　　而 在椭圆 （ ）上，
　　所以 ，即 ，所以 .……………4分
　　又当 时，不合题意，去掉顶点.
　　∴直线 与 的交点的轨迹 的方程是 ；……………5分
　　方法二：设直线 与 的交点为 ，
　　∵ 是椭圆 的上、下顶点，
　　∴ …………………1分
　　∵ 共线， 共线，
　　∴ …………①
　　…………②…………………3分
　　① ②得 ，
　　又∵ 即 ，
　　∴ ，即 ，
　　∴直线 与 的交点的轨迹 的方程是 ；（ ）……………5分
　　（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为 ，
　　设 ， ， ，
　　由 得 ，
　　.…………………6分
　　，
　　∵ ，∴ ，
　　∵ ，∴ ，
　　∵ ， ，
　　，
　　又∵ ，∴ ，
　　∴ ，
　　即 .………………………8分
　　将 ， ， 代入上式并整理得 ，…………………9分
　　当 时， ，
　　当 时， ， 恒成立，
　　…………………11分
　　所以，
　　在 轴上存在定点 ，使得 ，点 的坐标为 ．………12分
　　22.(本小题满分12分)
　　（I）证明：方法一：
　　∵ ，由 得 ，
　　于是易得 .………………2分
　　又 ，即
　　又∵ ，∴ （ ）.…………………4分
　　方法二：数学归纳法
　　（1）当 时， ，命题成立.………………1分
　　（2）假设当 （ ）时命题成立，即 ，
　　当 时，
　　∴ 时命题成立.………………3分
　　由（1）（2）可知，当 时， .…………………4分
　　（II）证明：由（I）知
　　,……………5分
　　两边取自然对数得： .………………6分
　　令 ，
　　则当 时， 恒成立，
　　∴ 为 上的减函数，∴
　　∴ 在 时恒成立，………………7分
　　即 （ ），………………9分
　　故， ，
　　，
　　……………………………
　　，以上各式相加得：
　　，（ ）…………10分
　　又∵ ，∴ ，∴ （ ），………………11分
　　又∵ ， ，
　　∴ （ ）.…………………12分