将平面上的每点都以红蓝两色之一着色。（1）试证：存在这样两个相似三角形，它们的相似比为1995，

Question

将平面上的每点都以红蓝两色之一着色。 （1）试证：存在这样两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每个三角形的顶点同色。 （2）是否存在这样的两个三角形六个顶点同色？

Answer 1

1:先证：对任意正数a，存在以a为斜边、一角为60°的直角三角形顶点同色．事实上，以a为一边作正三角形，则其三个顶点中至少有两个同色．不妨设这两点为图中A、D，它们同为红色． 再以AD为主对角线，作正六边形ABCDEF． 若B、C、E、F中有一点是红色，则它与A、D组成的三角形满足要求．若不然，则Rt△BCE符合要求． 取a1=1，a2=1995，即得二顶点同色三角形，它们相似且相似比为1995． 2: 以任一点O为圆心、分别以1、1995为半径作二同心圆．在小圆上至少有五点同色，设为A1，A2，A3，A4，A5，连结OAi，并延长交大圆于Bi（i=1，2，3，4，5）．B1～B5中至少有三点同色，不妨设为B1，B2，B3．则△A1A2A3与△B1B2B3合乎要求．