在平面直角坐标系中,方程为X^2+Y^2+DX+EY+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直,（二）若四边形ABCD的面积为8,对角线AC的长为2,且AB*AD=0,求D^2+E^2-4F的值

Question

在平面直角坐标系中,方程为X^2+Y^2+DX+EY+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直,
（二）若四边形ABCD的面积为8,对角线AC的长为2,且AB*AD=0,求D^2+E^2-4F的值

Answer 1

x²+y²+Dx+Ey+F=0是圆的一般式方程,它的半径为r=（√（D²+E²-4F））/2,所以：
D²+E²-4F=(2r)²,即圆直径的平方.只要算出圆的直径即可.
根据条件：四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直,四边形ABCD的面积为8,对角线AC的长为2,可得另一条对角线BD=2*8/2=8 （对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线积的一半,可用三角形面积公式推导）
又根据另一条件：AB*AD=0知AB、AD互相垂直,即角A为直角,那么BD即为直径,也即2r=8.
由以上两条可知所求结论为D²+E²-4F=64