为什么对角互补的四边形是圆内接四边形

Question

为什么对角互补的四边形是圆内接四边形

Answer 1

【对角互补的四边形是圆内接四边形】

设在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求证：四边形ABCD是圆内接四边形。

用反证法。

证明：

过B、C、D三点做⊙O，假设点A不在⊙O上，那么点A在⊙O内或⊙O外。

若点A在⊙O内，连接BA并延长，交⊙O于E，连接DE。

则∠E+∠C=180°

∵∠BAD=∠E+∠ADE＞∠E

∴∠BAD+∠C＞180°，这与∠BAD+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O内。

若点A在⊙O外，连接AB交⊙O于F，连接DF，

则∠BFD+∠C=180°，

∵∠A=∠BFD-∠ADF＜∠BFD，

∴∠A+∠C＜180°，

这与∠A+∠C=180°相互矛盾，

∴点A不在⊙O外。

综上所述，点A只能在⊙O上，A、B、C、D均在⊙O上，

∴四边形ABCD是圆内接四边形。