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△ABC中,BC=a,AB+AC=l,由B、C向∠A外角平分线作垂线,垂足为D、E.求证BD*CE为定值
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△ABC中,BC=a,AB+AC=l,由B、C向∠A外角平分线作垂线,垂足为D、E.求证BD*CE为定值
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答案和解析
BD*CE=ABsin(A/2)*ACsin(A/2)=AB*AC*(1-cosA)/2
cosA=(a^2-AB^2-AC^2)/(2AB*AC)
所以BD*CE=AB*AC*(1-cosA)/2=AB*AC*(2AB*AC-a^2+AB^2+AC^2)/(4AB*AC)
=[(AB+AC)^2-a^2]/4=(1-a^2)/4
cosA=(a^2-AB^2-AC^2)/(2AB*AC)
所以BD*CE=AB*AC*(1-cosA)/2=AB*AC*(2AB*AC-a^2+AB^2+AC^2)/(4AB*AC)
=[(AB+AC)^2-a^2]/4=(1-a^2)/4
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