在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（）A．既不充分也不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件

Question

在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（　　）

A．既不充分也不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件

Answer 1

先证充分性：
∵tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1−tanA•tanB)，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一个钝角，必有一个值为负值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一个为直角，则tanA•tanB•tanC无意义，
∴当tanA•tanB•tanC＞0时三个角为锐角，
故tanA+tanB+tanC＞0时，△ABC是锐角三角形；
再证必要性：
∵△ABC是锐角三角形；
∴tanA•tanB•tanC＞0，
又tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1−tanA•tanB)，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，
∴△ABC是锐角三角形时，tanA+tanB+tanC＞0．
故选：B．