如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA=∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．

Question

如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA=∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．

Answer 1

取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，
∴MF=(1)/(2)BP，MN=(1)/(2)PC，MF∥PN，MN∥PF，
∴四边形NMFP是平行四边形，
∴∠PNM=∠PFM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DN=(1)/(2)PB，EF=(1)/(2)PC，
∴DN=MF，MN=EF，
∵∠DNP=2∠ABP，∠PFE=2∠ACD，
∵∠ABP=∠ACD，
∴∠DNP=∠PFE，
∴∠DNM=∠EFM，
在△DNM与△MFE中，

DN=FM

∠DNM=∠EFM

MN=EF

，
∴△DNM≌△MFE，
∴DM=EM，
∴△DME是等腰三角形，
∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．