求极限的问题,推不出来,已知x1＝3,x（n＋1）＝√(3＋xn）,先证明极限存在,然后求极限.答案中直接就写了：由数学归纳法可得（1＋√13）／2＜x≤3,但是由数学归纳法是怎么推出（1＋√13）／2

Question

求极限的问题,推不出来,
已知x1＝3,x（n＋1）＝√(3＋xn）,先证明极限存在,然后求极限.答案中直接就写了：由数学归纳法可得（1＋√13）／2＜x≤3,但是由数学归纳法是怎么推出（1＋√13）／2这个数据来的呢?不懂,感激不尽啊!

Answer 1

这种递推关系的数列,都有一个叫做特征方程的,如对于齐次线性递推关系X(n+2)=3X(n+1)-2X(n)这样的,其特征方程为x^2=3x-2,解得x1=1,x2=2.
再如非齐次的递推关系如本题,其特征方程为x=√(3＋x),解得x=(1＋√13)/2.于是有x1=3>(1＋√13)/2.假设xn>(1＋√13)/2,则x(n+1)=√(3＋xn）>√[3＋(1＋√13)/2]=√[(7＋√13)/2]=√[(14＋2√13)/4]=(1＋√13)/2.故根据数学归纳法有xn>(1＋√13)/2成立.
至于xn≤3很好证的.X1=3≤3成立.假设xn≤3成立,则x(n+1)=√(3＋xn）≤√(3＋3）=√6√13/2,则x(n+1)-x(n)=-[x(n+1)-1/2]^2+13/4(1＋√13)/2有下界,故lim xn （n->∞）必有极限.于是由lim xn =lim x(n+1) 可得 lim xn =lim x(n+1)=lim √(3＋xn）=A,得方程A= √(3＋A） 解得A=(1＋√13)/2 即为所求极限.
亲,不信帮不了你,呵呵