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用数学归纳法证明5^n-2^n能被3整除
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用数学归纳法证明5^n-2^n能被3整除
▼优质解答
答案和解析
证明：(1)当n=1时,5^n-2^n=3能被3整除
(2)假设n=k时,5^k-2^k能被3整除,n=k+1时,5^n-2^n=5^(k+1)-2^(k+1)=5*5^k-2*2^k= (2+3)5^k-2*2^k=2*5^k+3*5^k-2*2^k=2(5^k-2^k)+3*5^k,因为5^k-2^k能被3整除,且3*5^k能被3除,所以n=k+1时,能被3整除
综上所述5^n-2^n能被3整除
(2)假设n=k时,5^k-2^k能被3整除,n=k+1时,5^n-2^n=5^(k+1)-2^(k+1)=5*5^k-2*2^k= (2+3)5^k-2*2^k=2*5^k+3*5^k-2*2^k=2(5^k-2^k)+3*5^k,因为5^k-2^k能被3整除,且3*5^k能被3除,所以n=k+1时,能被3整除
综上所述5^n-2^n能被3整除
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