已知n（n∈N*）满足3Cn−5n−1＝5P2n−2，整数a是413+C113412+C213411+…+C12134除以6的余数．（1）求n和a的值；（2）求(x2+ax)n二项展开式中二项式系数最大的项；（3）利用二项式定理，求函数F(x)＝(x2

Question

已知n（n∈N^*）满足3

C

n−5 n−1

＝5

P

2 n−2

，整数a是413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4除以6的余数．
（1）求n和a的值；
（2）求(x2+(a)/(x))n二项展开式中二项式系数最大的项；
（3）利用二项式定理，求函数F(x)＝(x2+(a)/(x))5+((1)/(x2)+ax)5在区间[(1)/(2)，2]上的最小值．

Answer 1

（1）3

C

n−5 n−1

＝5

P

2 n−2

，即为3

C

4 n−1

=5（n-2）（n-3），
3•((n−1)(n−2)(n−3)(n−4))/(24)=5（n-2）（n-3），即n²-5n-36=0，
解得，n=9（-4舍去），
413+

C

1 13

412+

C

2 13

411+…+

C

12 13

4=（4+1）¹³-1=5¹³-1
=（6-1）¹³-1=6¹³-

C

1 13

6¹²+…+

C

12 13

•6-1-1，
上式显然前13项均为6的倍数，则余数为a=-2+6=4．
故有n=9，a=4；
（2）(x2+(a)/(x))n二项展开式即为（x²+(4)/(x)）⁹的通项公式为：
T_r+1=

C

r 9

(x2)9−r((4)/(x))r（r=0，1，2，…，9）
由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项为：
T₅=

C

4 9

(x2)5((4)/(x))4=32256x⁶，T₆=

C

5 9

(x2)4((4)/(x))5=129024x³；
（3）函数F（x）=（x²+(4)/(x)）⁵+（(1)/(x2)+4x）⁵=（x¹⁰+(1)/(x10)）+

C

1 5

•4（x⁷+(1)/(x7)）+

C

2 5

•42•（x⁴+(1)/(x4)）+

C

3 5

•43•（x+(1)/(x)）+

C

4 5

•44•（(1)/(x2)+x²）+45•（(1)/(x5)+x⁵），
由于y=xⁿ+(1)/(xn)（n为正整数）在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
则当x=1时，y取得最小值．
则F（x）在[(1)/(2)，1）上递减，在（1，2]上递增，
则F（1）最小，且为（1+4）⁵+（1+4）⁵=6250．