在二项式（3x-123x）n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中各项的系数和．

Question

在二项式（

3

x

-(1)/(23x)）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和．

Answer 1

（1）依题意知(

3

x

−(1)/(23x))n展开式中的第r+1项为Tr+1＝

C

r n

(

3

x

)n−r(−(1)/(2))r((1)/(3x))r＝

C

r n

(−(1)/(2))rx(n−2r)/(3)…（2分）
∴前三项系数的绝对值为：

C

0 n

，(C1n)/(2)，(C2n)/(4)即1，(n)/(2)，(n(n−1))/(8)…（3分）
依题意知，n＝1+(n(n−1))/(8)，n2−9n+8＝0
∴n=8（n=1舍去）…（5分）
（2）由（1）知Tr+1＝

C

r 8

(−(1)/(2))rx(8−2r)/(3)，令(8−2r)/(3)＝0得r=4…（8分）
∴第五项T5＝

C

4 8

(−(1)/(2))4＝

作业帮用户 2017-10-13

问题解析

（1）利用展开式的前三项的系数的绝对值成等差数列，推出关系式然后求解n的值；
（2）通过展开式的通项公式，令x的系数为0，即可求出展开式中的常数项；
（3）通过x=1，即可求解展开式中各项的系数和．

名师点评

本题考点：

二项式系数的性质；二项式定理．

考点点评：

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查有理项是幂的指数为整数．

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