已知n∈N*，n＞2，（2x-1x）n的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．（Ⅰ）求n；（Ⅱ）求展开式中x12的系数．

Question

已知n∈N^*，n＞2，（2√(x)-(1)/(√(x))）ⁿ的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n；    
（Ⅱ）求展开式中x (1)/(2)的系数．

Answer 1

（Ⅰ）展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

．
由题意可知：2

C

2 n

＝

C

1 n

+

C

3 n

即 2•(n(n−1))/(2)＝n+(n(n−1)(n−2))/(6)…（4分）
化简得n²-9n+14=0…（5分）
又n＞2，则n=7．…（6分）
（Ⅱ）展开式的通项为：Tr+1＝

C

r 7

(2√(x))7−r(−(1)/(√(x)))r＝(−1)r27−r

C

r 7

x(7)/(2)−r…（9分）
根据题意，得 (7)/(2)−r＝(1)/(2)即r=3…（10分）
所以x(1)/(2)的系数为：(−1)327−3

C

3 7

＝−560．…（12分）