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代数高手请进已知矩阵A半正定,B半负定,求证tr(AB)
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代数高手请进
已知矩阵A半正定,B半负定,求证tr(AB)
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答案和解析
设A=P'P,B=-Q'Q（P'表示P的转置）
则tr(AB)=tr(-P'PQ'Q)=-tr(P'PQ'Q)=-tr(QP'PQ') (迹可交换)
注意到QP'=(PQ')',所以QP'PQ'半正定,
所以tr(QP'PQ')>=0 (主子式非负,特别地对角线上元素非负)
得证.
则tr(AB)=tr(-P'PQ'Q)=-tr(P'PQ'Q)=-tr(QP'PQ') (迹可交换)
注意到QP'=(PQ')',所以QP'PQ'半正定,
所以tr(QP'PQ')>=0 (主子式非负,特别地对角线上元素非负)
得证.
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