介于算术平均数和几何平均数之间的是什么平均数

Question

介于算术平均数和几何平均数之间的是什么平均数

Answer 1

算术平均,几何平均,调和平均都是幂平均的特例.
对a,b > 0,其p次幂平均定义为((a^p+b^p)/2)^(1/p) (p ≠ 0).
当p = 1时就是算术平均,p = -1时就是调和平均.
当p → 0时,可以证明((a^p+b^p)/2)^(1/p) → √(ab).
由此可以合理的定义p = 0时的幂平均就是几何平均√(ab).
幂平均对指数p是单调递增的,即对任意a,b > 0与p < q,
成立不等式((a^p+b^p)/2)^(1/p) ≤ ((a^q+b^q)/2)^(1/q).
因此满足0 < p < 1的p次幂平均都介于算术平均和几何平均之间.