一题含绝对值的不等式|x+1|+|x-2|>5,则么算?

Question

一题含绝对值的不等式
|x+1|+|x-2|>5,则么算?

Answer 1

纯代数解法,带有绝对值的方程,一般是调整后采用两边同时平方来解决.
由于|x+1|+|x-2|恒大等于0,所以两边同时平方不会变化不等号方向.
两边同时平方,不等式成立,转化为
(|x+1|+|x-2|)^2 > 25
展开
（|x+1|）^2 + 2* |x+1| * |x-2| + (|x-2|)^2 >25
由于
(|x+1|)^2 = （x+1）^2 和(|x-2|)^2 = (x-2)^2,所以变化为
x^2+2x+1 + x^2-4x+4 + 2 * |x+1|*|x-2| >25
整理一下
2x^2 - 2x + 5 + 2 * |x+1|*|x-2| > 25
再整理
2x^2 - 2x + 2 * |x+1|*|x-2| > 20
又由于
|x+1|*|x-2| = |(x+1)(x-2)｜
所以继续变形
2x^2 - 2x + 2 * |(x+1)(x-2)｜ > 20
移动一下,整理一下
2 * |(x+1)(x-2)｜ > 20 - 2x^2 + 2x
两边都除以2
|(x+1)(x-2)｜ > 10 - x^2 + x
由于
|(x+1)(x-2)｜ > 10 - x^2 + x
则
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
或者
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
这样就有两个式子
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
和
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
这里两个不等式有其中之一成立即可
先整理第一个式子
(x+1)(x-2) > 10 - x^2 + x
x^2 - x - 2 > 10 - x^2 + x
2x^2 - 2 x - 12> 0
x^2 - x - 6 >0
(x - 3)(x + 2) > 0
所以x > 3或者x < - 2
再整理第二个式子
(x+1)(x-2) < -(10 - x^2 + x)
x^2 - x - 2 < -10 + x^2 - x
整理为
-2 < -10 恒不成立,所以第二个不等式的解是空集
x > 3或者x < - 2 和空集合并,
最后为 x > 3或者x < - 2
所以最后结果为x > 3或者x < - 2