给出下列四个命题：①角θ为第二象限角的充要条件是sinθ＞0且cosθ＜0；②角θ为第三象限角的充要条件是cosθ＜0且tanθ＞0；③角θ为第四象限角的充分非必要条件是sinθtanθ

Question

给出下列四个命题：
①角θ为第二象限角的充要条件是sinθ＞0且cosθ＜0；
②角θ为第三象限角的充要条件是cosθ＜0且tanθ＞0；    
 ③角θ为第四象限角的充分非必要条件是 (sinθ)/(tanθ) ＞0 ；     
④角θ为第一象限角的必要非充分条件是sinθ•cosθ＞0．
其中正确命题的序号为______．

Answer 1

∵由角θ为第二象限角，可得到sinθ＞0且cosθ＜0．再由sinθ＞0且cosθ＜0，可推出角θ为第二象限角，
故θ为第二象限角的充要条件是sinθ＞0且cosθ＜0，故 ①正确．
∵由角θ为第三象限角，可得到cosθ＜0且tanθ＞0．再由cosθ＜0且tanθ＞0，可推出角θ为第二象限角，
 故角θ为第三象限角的充要条件是cosθ＜0且tanθ＞0．
∵由角θ为第四象限角，可得 sinθ＜0，tanθ＜0，故有 (sinθ)/(tanθ) ＞0 ．由 (sinθ)/(tanθ) ＞0 ，可得sinθ＜0，tanθ＜0，
或sinθ＞0，tanθ＞0，故θ 为第四象限角或为第一象限角，
角θ为第四象限角的必要非充分条件是 (sinθ)/(tanθ) ＞0 ，故③不正确．
∵由角θ为第一象限角，可得sinθ＞0，且cosθ＞0．由sinθ•cosθ＞0，
可得cosθ＞0，sinθ＞0，或 cosθ＜0，sinθ＜0，故θ 为第一象限角或为第三象限角．
故角θ为第一象限角的必要非充分条件是sinθ•cosθ＞0，故④正确．
故答案为①②④．