设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，且在[0，π2]上单调递减，在[π2，π]上单调递增，则函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为（）

Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，且在[0，(π)/(2)]上单调递减，在[(π)/(2)，π]上单调递增，则函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为（　　）

A．0
B．10
C．20
D．40

Answer 1

由函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，得：
函数f（x）的图象关于原点对称，
又由当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
且在[0，(π)/(2)]上单调递减，在[(π)/(2)，π]上单调递增，
可作出函数f（x）图象的大致形状，
求函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数，就是求方程f（x）-sinx=0的根的个数，
即求函数y=f（x）的图象与y=sinx图象交点的个数，如图，

函数y=f（x）的图象与y=sinx的图象交于x轴上方，
以正弦函数[-π，π]为一个周期，也正是函数y=f（x）的一个周期，在每个周期内两个函数图象有两个交点，
区间[-10π，10π]占10个周期长度，
因此在[-10π，10π]上总的交点个数为20个，
所以，函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为20．
故选：C