基本不等式的应用已知xyz正数且x+y+z=1求x^2+y^2+z^2的最小值答案我知道可是过程和运用的公式以及思考过程不清楚请详细的给出步骤

Question

基本不等式的应用
已知x y z 正数且x+y+z=1求x^2+y^2+z^2的最小值
答案我知道可是过程和运用的公式以及思考过程不清楚请详细的给出步骤

Answer 1

证明：∵x+y+z=1且x y z为 正数
那么1=（x+y+z=1）^2=x^2+y^2+z^2
+2(xy+yz+xz) (Ⅰ)
x^2+y^2 >=2xy ①
x^2+z^2 >=2xz ②
y^2 +z^2 >=2yz ③
将①.②.③累加,得到
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz （Ⅱ）
结合(Ⅰ) ,（Ⅱ）可以得到
x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+xz) <=3(x^2+y^2+z^2)
即 1<= 3(x^2+y^2+z^2)
那么 x^2+y^2+z^2>=1/3
所求最小值为1/3