距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

Question

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

Answer 1

(1)在平面直角坐标系中 已知P ₁ (x ₁ y ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ ) 则|P ₁ P ₂ |= .

(2)在空间直角坐标系 如图 设P ₁ (x ₁ y ₁ z ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ z ₂ )是空间中任意两点 且点P ₁ (x ₁ y ₁ z ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ z ₂ )在xOy平面上的射影分别为M、N 那么M、N的坐标为M(x ₁ y ₁ 0)、N(x ₂ y ₂ 0) 在xOy平面上 |MN|= .

过点P ₁ 作P ₂ N的垂线 垂足为H 则|MP ₁ |=|z ₁ | |NP ₂ |=|z ₂ | 所以|HP ₂ |=|z ₂ -z ₁ |.

在Rt△P ₁ HP ₂ 中 |P ₁ H|=|MN|=

根据勾股定理 得

|P ₁ P ₂ |= = .

因此 空间中点P ₁ (x ₁ y ₁ z ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ z ₂ )之间的距离

|P ₁ P ₂ |= .

(3)我们来确定P ₁ 、P ₂ 两点在柱坐标系中的距离公式：

根据空间点P的直角坐标(x y z)与柱坐标(ρ θ z)之间的变换公式： P ₁ (x ₁ y ₁ z ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ z ₂ ) 有 可得

|P ₁ P ₂ |= .

(4)我们来确定P ₁ 、P ₂ 两点在球坐标系中的距离公式：

空间点P的直角坐标(x y z)与球坐标(r φ θ)之间的变换关系为

P ₁ (x ₁ y ₁ z ₁ ) P ₂ (x ₂ y ₂ z ₂ ) 有 及 .

可得|P ₁ P ₂ |=