已知两个二次函数y=x2+bx+a和y=x2+ax+b（a≥0＞b）图象分别与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等，求实数a，b的值．

Question

已知两个二次函数y=x²+bx+a和y=x²+ax+b（a≥0＞b）图象分别与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等，求实数a，b的值．

Answer 1

设函数y=x²+ax+b与x轴的两个交点坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0）且x₁＜x₂（1分），
函数y=x²+bx+a与x轴的两个交点坐标分别为C（x₃，0），D（x₄，0），且x₃＜x₄（2分），
则x₁+x₂=-a≤0，x₁x₂=b＜0，则x₁＜0，x₂＞0（4分），
同理x₃+x₄=-b＞0，x₃x₄=a≥0，则x₃≥0，x₄＞0（6分），
则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B（7分），
若按A，C，D，B的顺序排列，则AC=CD=DB，
则有x₃-x₁=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₃+x₄，即-a=-b，
与假设（a≥0＞b）矛盾，此不可能（9分）．
若按A、B、C、D的顺序排列，
则x₂-x₁=x₄-x₃=x₃-x₂，
由于x1，2＝(−a±√(a2−4b))/(2)，
x3，4＝(−b±√(b2−4a))/(2)，
则√(a2−4b)＝√(b2−4a)，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₄，
则2×(−b−√(b2−4a))/(2)＝(−a+√(a2−4b))/(2)+(−b+√(b2−4a))/(2)，
化简得：a+b＝3√(b2−4a)+√(a2−4b)，
即3√(b2−4a)+√(a2−4b)＝−4，此不可能（11分）．
若按A、C、B、D的顺序排列，则x₃-x₁=x₂-x₃=x₄-x₂，
则有x₂-x₁=x₄-x₃，且2x₃=x₁+x₂，
因此√(a2−4b)＝√(b2−4a)，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₁，
则2×(−b−√(b2−4a))/(2)＝−a，
解之得a=0或a=-4（13分），
而a≥0，∴a=0，b=-4，经经验，
a=0，b=-4满足题设要求．故a=0，b=-4为所求（14分）．