1、写出6个正整数,使得它们中的每一个都是不为1的完全平方数的倍数,请说明计算方法2、求满足下列条件最小的正整数：它的立方数加上101所得的恰是一个完全平方数3、已知三角形ABC内接于

Question

1、写出6个正整数,使得它们中的每一个都是不为1的完全平方数的倍数,请说明计算方法
2、求满足下列条件最小的正整数：它的立方数加上101所得的恰是一个完全平方数
3、已知三角形ABC内接于半径为1的圆O,并且AB*AC=AB-AC=1,试求三角形ABC三个内角的度数,并证明你的结论
4、两个正整数的差为21,最大公约数与最小公倍数的和为1463,这两个正整数是?
第一题是连续六个正整数
另外能否过程再详细一点

Answer 1

第一题
这题我想出的方法较为复杂（可能存在简单的做法……）
比方说构造连续6个自然数
分别为4a、9b、25c、49d、121e、169f
4a+1=9b
b=(4a+1)/9
可得a≡2(mod 9)
4a+2=25c
可得a≡12(mod 25)
同理
a≡36(mod 49)
a≡120(mod 121)
a≡41(mod 169)
显然25｜a+13、49｜a+13
设a=25*49*k-13
显然,由a≡2(mod 9)
可得k≡6(mod 9)
设k=9m+6
a=25*49*(9m+6)-13
同理,由a≡120(mod 121)
可得m≡29(mod 121)
设m=121n+29
a=25*49*(9*(121n+29)+6)-13≡108n+216≡41(mod 169)
可得n≡122(mod 169)
取n=122
可得出一组正整数：
652312448、652312449、……652312453
这6个正整数分别为4、9、25、49、121、169的倍数
第二题暂时没想到好方法
我是利用同余排除3的倍数、7的倍数、101的倍数和末尾数字为1、3、8的情况……
最后可得答案为95
第三题纯粹是解方程和正余弦定理运用
三个角度数分别为108、18、54或36、18、126
第四题
设两个正整数为a,a+21
由最大公约数性质
(a,a+21)只可能等于1、3、7、21
由1463=7*11*19
排除(a,a+21)=3和21
又1*(1463-1)=a(a+21)无整数解
取(a,a+21)=7
可得a=91
另一数为112