设F（y）=∫+∞0sinxyx(1+x)dx，y＞0．已知∫+∞0sinxxdx=π2．（a）试证明：F″（y）-F（y）+π=0．（b）求出F（y）的初等函数表达式．

Question

设F（y）=

∫

+∞ 0

(sin√(x)y)/(x(1+x))dx，y＞0．已知

∫

+∞ 0

(sinx)/(x)dx=(π)/(2)．
（a） 试证明：F″（y）-F（y）+π=0．
（b） 求出F（y）的初等函数表达式．

Answer 1

（a）利用含参变量的积分上限求导公式可得，
F′（y）=

∫

+∞ 0

(cos√(x)y)/(√(x)(1+x))dx，
F″（y）=

∫

+∞ 0

(−sin√(x)y)/(1+x)dx，
因此，
F″（y）-F（y）=−

∫

+∞ 0

((1)/(1+x)+(1)/(x(1+x)))sin√(x)ydx
=−

∫

+∞ 0

(sin√(x)y)/(x)dx．
令t＝√(x)y，x＞0，则x＝(t2)/(y2)，dx＝(2t)/(y2)dt，
从而，

∫

+∞ 0

(sin√(x)y)/(x)dx=2

∫

+∞ 0

(sint)/(t)dt=π，
因此，
F″（y）-F（y）=−

∫

+∞ 0

(sin√(x)y)/(x)dx=-π，
故 F″（y）-F（y）+π=0．
（b）因为F（y）满足F″（y）-F（y）+π=0，①
其对应的齐次方程的特征方程为：λ²-1=0，
特征根为：λ=±1．
设①的一个特解为：F*（y）=A，
代入①可得，A=π．
因此，①的通解为：
F（y）=C1ey+C2e−y+π=C1ey+C2e−y+π．
又因为F（0）=0，
F′（0）=

∫

+∞ 0

(1)/(√(x)(1+x))dx
=2

∫

+∞ 0

(d(√(x)))/(1+(√(x))2)
=2arctan√(x)

|

+∞ 0

=2•(π)/(2)
=π，
故由

C1+C2+π＝0

C1−C2＝π

可得，C₁=0，C₂=-π．
所以，F（y）=π（1-e^-y）．