已知函数f（x）=2e2x+2x+sin2x．（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性并说明理由；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，不等式组f(2kx−x2)＞f(k−4)f(x2−kx)＞f(k−3)恒成立，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2e^2x+2x+sin2x．
（Ⅰ）试判断函数f （x）的单调性并说明理由；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，不等式组

f(2kx−x2)＞f(k−4)

f(x2−kx)＞f(k−3)

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）在R上单调递增．利用导数证明如下：
因为f（x）=2e^2x+2x+sin2x，
所以，f'（x）=4e^2x+2+2cos2x＞0在R上恒成立，
所以f（x）在R上递增．（5分）
（Ⅱ）由于f（x）在R上递增，不等式组可化为

x2−2kx+k−4＜0

x2−kx−k+3＞0

，对于任意x∈[0，1]恒成立．
令F（x）=x²-2kx+k-4＜0对任意x∈[0，1]恒成立，
必有

F(0)＜0

F(1)＜0

，即

k−4＜0

1−2k+k−4＜0

，解之得-3＜k＜4，
再由x²-kx-k+3＞0对任意x∈[0，1]恒成立可得k＜(x2+3)/(x+1)＝((x+1)2−2(x+1)+4)/(x+1)＝(x+1)+(4)/(x+1)−2，
在x∈[0，1]恒成立，因此只需求(x2+3)/(x+1)的最小值，而（x+1）+(4)/(x+1)-2≥2．
当且仅当x=1时取等号，故k＜2．
综上可知，k的取值范围是（-3，2）．（12分）