（本题满分20分）设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋1＝0.（Ⅰ）证明：直线l1与l2相交；（Ⅱ）试用解析几何的方法证明：直

Question

（本题满分20分）设直线 l ₁ ： y ＝ k ₁ x ＋1， l ₂ ： y ＝ k ₂ x －1，其中实数 k ₁ ， k ₂ 满足 k ₁ k ₂ ＋1＝0.
（Ⅰ）证明：直线 l ₁ 与 l ₂ 相交；（Ⅱ）试用解析几何的方法证明：直线 l ₁ 与 l ₂ 的交点到原点距离为定值．（Ⅲ）设原点到 l ₁ 与 l ₂ 的距离分别为d ₁ 和d ₂ 求d ₁ +d ₂ 的最大值

Answer 1

（Ⅰ）反证法：假设 l ₁ 与 l ₂ 不相交，则 l ₁ 与 l ₂ 平行，有 k ₁ ＝ k ₂ ，代入 k ₁ k ₂ ＋1＝0，得 ＋2＝1.此与 k ₁ 为实数的事实相矛盾，从而 k ₁ ≠ k ₂ ，即 l ₁ 与 l ₂ 相交。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 由方程组 解得交点 P 的坐标( x ， y )为 ，而 x ² ＋ y ² ＝ ² ＋ ² ＝ ＝ ＝1.即 l ₁ 与 l ₂ 的交点到原点距离为1
（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）反证法：假设 l ₁ 与 l ₂ 不相交，则 l ₁ 与 l ₂ 平行，有 k ₁ ＝ k ₂ ，代入 k ₁ k ₂ ＋1＝0，得 ＋2＝1.此与 k ₁ 为实数的事实相矛盾，从而 k ₁ ≠ k ₂ ，即 l ₁ 与 l ₂ 相交。
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知 由方程组
解得交点 P 的坐标( x ， y )为
而 x ² ＋ y ² ＝ ² ＋ ² ＝ ＝ ＝1.
即 l ₁ 与 l ₂ 的交点到原点距离为1
方法二：交点 P 的坐标( x ， y )满足 故知 x ≠0，从而
代入 k ₁ k ₂ ＋1＝0，得 ＋1＝0.整理后，得 x ² ＋ y ² ＝1得证。
（Ⅲ）方法一：


方法二： 为矩形，
当且仅当 时取“=”

点评：关于两条直线位置关系的问题，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中，主要考查以下三种：一、判断两条直线平行和垂直；二、求点到直线的距离、平行线间的距离；三、求直线的交点或夹角及利用它们求参数等