解析几何如果抛物线y^2=px与圆(x-2)^2+y^2=3相交,它们在X轴上方的交点为A、B,当实数p为何值时,线段AB的中点M在x=y上?

Question

解析几何
如果抛物线y^2=px与圆(x-2)^2+y^2=3相交,它们在X轴上方的交点为A、B,当实数p为何值时,线段AB的中点M在x=y上?

Answer 1

设A(x1,y1) B(x2,y2)
y^2=px代入(x-2)^2+y^2=3
(x-2)^2+px=3
x^2+(p-4)x+1=0
x1+x2=4-p
x1*x2=1
A,B中点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
在x=y上
(x1+x2)/2=(y1+y2)/2
y1+y2=4-p
√(px1)+√(px2)=4-p
√x1+√x2=(4-p)/√p
两边平方
x1+x2+2√(x1x2)=(4-p)^2/p
4-p+2=(4-p)^2/p
p^2-7p+8=0
p=(7±√17)/2