早教吧作业答案频道 -->其他-->
平面几何难题在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC请各路高手证明(不许用反证法)
题目详情
平面几何难题
在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
请各路高手证明(不许用反证法)
在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
请各路高手证明(不许用反证法)
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,则在△EBC与△DBC中:sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2(β+γ)+ sin2β】=0(积化和差)
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0(重新分组并提取公因式)
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0(和差化积)
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
或
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2(β+γ)+ sin2β】=0(积化和差)
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0(重新分组并提取公因式)
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0(和差化积)
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
或
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β
看了 平面几何难题在三角形ABC中...的网友还看了以下:
将一副三角尺拼图,并标点描线如图所示,然后过点C作CF平分∠DCE,交DE于点F.(1)求证:CF 2020-05-17 …
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.( 2020-05-17 …
如图,AB是⊙O的直径,点C为AB上面半圆上一点,点D为AB的下面半圆的中点,连接CD与AB交于点 2020-05-17 …
如图ab为圆o的直径,c、d分别为oa,ob的中点,cf垂直ab,de垂直ab,求证,1.cf=d 2020-06-06 …
(2013•邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证 2020-06-17 …
(2014•牡丹江)如图,在等边△ABC中,点D在直线BC上,连接AD,作∠ADN=60°,直线D 2020-06-17 …
已知如图,点C,D在BE上,BC=DE,AB‖EF,AD‖CF求证:AD=CF 2020-06-27 …
已知如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC的中点,过C作CE⊥BD交BD的延长 2020-11-03 …
PA,PB是圆0两切线,PCD是割线,E,F分别在AB,AD上,CE=CF,求证:CF与PA互相平行 2020-12-05 …
(2013•沙市区三模)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,CD⊥AB,垂足为点D,CF⊥A 2020-12-29 …